Конспект урока по теме «Принцип Дирихле»
План урока:
1.
Организационный
момент
2.
Вводная часть
3.
Разбор темы
занятия
4.
Закрепление темы
5.
Работа в группах
6.
Подведение итогов
урока
7.
Постановка
домашнего задания
Задачи урока:
·
Познакомить
учащихся с методом доказательства «от противного», методом оценки и научить
пользоваться некоторыми свойствами неравенств;
·
Сформировать
понимание отличия интуитивных соображений от доказательства;
·
Развивать умение
различать в задаче условие и заключение;
·
Познакомить
учеников с задачами, где при расплывчатых формулировках удается получить
некоторую достоверную информацию;
Оборудование:
презентация к уроку.
1. Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока.
Рабочий настрой на урок.
2. Вводная часть.
СЛАЙД 1.
При решении многих задач
используется логический метод рассуждения — "от противного". В чем
заключается этот метод мы с вами немного говорили: делается противоположное
предположение тому, что нужно доказать. На данном занятии мы рассмотрим одну из
форм метода рассуждения «от противного»—
принцип Дирихле.
При́нцип
Дирихле́ — утверждение,
названное в честь автора немецкого математика, который жил в 19 веке. Данное
утверждение устанавливает связь между объектами при выполнении определённых
условий. Данный метод автор успешно применял его к доказательству
арифметических утверждений. Принцип Дирихле применяется в разных разделах математики: в арифметике,
в комбинаторике, в геометрии. И
мы на данном занятии познакомимся с некоторыми изюминками решения задач на
принцип Дирихле.
3. Разбор темы занятия.
СЛАЙД 2.
Рассмотрим общую формулировку
принципа Дирихле. Этот принцип утверждает, что если множество из k элементов разбито на п непересекающихся частей, не
имеющих общих элементов, где k>n то, по крайней мере, в одной части будет более
одного элемента.
СЛАЙД 3.
По традиции принцип Дирихле
объясняют на примере "кроликов и клеток". Самая популярная
формулировка принципа Дирихле звучит так:
"Если в n клетках сидит n+1
или больше кроликов, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два
кролика".
СЛАЙД 4.
Более общая формулировка
принципа: «Если k
кроликов сидят в n клетках (k>n),
то найдётся клетка, в которой не менее k/n
кроликов»
Доказательство
принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения
«от противного» часто встречаются.
Заметим, что в роли кроликов могут выступать различные
предметы и математические объекты - числа, отрезки, места в таблице и т. д. Если
мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит
разобраться, что в ней — "клетки", а что — "кролики". Это
обычно является самым трудным этапом в доказательстве.
4. Закрепление темы.
Начнем решение задач с очевидной
задачи и попробуем применить принцип Дирихле при доказательстве.
Задача: Шесть школьников съели семь конфет. Докажите, что один из них съел не менее двух
конфет.
Вопрос: что мы примем за «клетки», а что за
«кролики»? Если 7 кроликов рассадим по 6 клеткам, то в одной клетке окажется по
крайней мере 2 кролика, т.е. один ученик съел как минимум 2 конфеты. Ч.т.д.
СЛАЙД
5.
Задача 1. Докажите, что в любой
футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день
недели.
Рассуждения:
кролики – игроки команды, клетки – дни недели. Сколько игроков в футбольной
команде? – 11, а дней недели – 7. Если рассадить кроликов в клетки, то
окажется, что 4 кролика будут сидеть в клетке не в одиночестве. Ч.т.д.
СЛАЙД
6.
Задача 2. Имеется 25 конфет трех сортов. Верно
ли, что не менее девяти из них будут какого-то одного сорта?
Рассуждения: Пусть "клетками" у нас будут
сорта конфет, а "кроликами" - сами конфеты. По принципу Дирихле
найдется "клетка", в которой не менее 25 / 3
"кроликов". Так как 8 < 25 / 3 < 9,
то найдется 9 конфет одного сорта.
Задачу можно решить, проводя сразу рассуждения от
противного:
пусть конфет каждого сорта не более 9, то есть не
превышает восьми. Тогда всего конфет не превышает 3 ×
8 = 24, а по условию их 25.
Противоречие.
СЛАЙД
7.
Задача 3: В классе 30 человек. Паша сделал 13 ошибок,
а остальные меньше. Докажите, что какие-то три ученика сделали одинаковое
количество ошибок.
Рассуждения: Здесь "кролики"-
ученики, "клетки"- число сделанных ошибок. В клетку 0 "посадим"
всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1- тех, у кого 1 ошибка... и так
до клетки 13, куда попал один Паша.
Теперь
применим принцип Дирихле.
Докажем утверждение задачи от
противного. Предположим, никакие три ученика не сделали по одинаковому числу
ошибок, то есть в каждую из "клеток" 0,1,...,12 попало меньше трех
школьников. Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13
клетках не более 2*13=26 человек. Добавив Пашу, все равно не наберем 30 ребят.
Противоречие. Следовательно, утверждение задачи верно, по крайней мере, трое
учеников сделали поровну ошибок.
СЛАЙД
8.
Задача 4. Каждый из 10 участников переговоров
послал по их окончании поздравительные открытки пятерым другим участникам.
Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу.
Рассуждения: Всего было отправлено 50 открыток.
Значит, существует участник, который получил не менее пяти открыток (если бы
каждый получил не более четырёх, то всего было бы отправлено не более 40
открыток). Таким образом, он послал открытки пятерым участникам и получил
открытки не менее чем от пяти участников. Поскольку, кроме него, имеется лишь 9
участников, то хотя бы один другой участник входит в обе пятёрки.
5.
Работа в группах.
А теперь проверим, как вы самостоятельно применяя принцип
Дирихле, решите задачи. Ученики разбиваются на группы по 5-6 человек. Совместно
находят решения 4-х задач.
Указание: рассуждение начинать обязательно с
определения, что в задаче принимается за «клетки», а что за «кролики».
В
квадратном ковре со стороной
Рассуждения: «клетки» - 25
заплаток; «кролики» 51 моль. Весь
ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих
заплат накроет не менее трех дырок.
2.
В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой
день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?
Рассуждения: «клетки» - 12 месяцев, «кролики» - 40
учеников. Рассуждаем от противного. Если бы такого месяца не нашлось, то в
каждом из 12 месяцев день рождения отмечали бы не более трёх учеников. Значит,
всего учеников было бы не более 363. Но 40 > 36. Противоречие.
3. На плоскости нарисовали 5 прямых. Докажите,
что угол между какими-то двумя из них не больше 36°. (Если какие-нибудь прямые
параллельны, считайте, что угол между ними равен 0°.)
Рассуждения: Отметим на плоскости произвольную
точку и переместим параллельными переносами все прямые так, чтобы они проходили
через эту точку. Величины углов между прямыми при этом не изменятся. Теперь мы
получили пять прямых, проходящих через одну точку, которые образовали 10 углов
(внутренние области которых не пересекаются). Сумма величин этих углов равна
360°. Если бы все эти величины были больше 36°, то их сумма была бы больше
360°. Следовательно, величина хотя бы одного из этих десяти углов не превышает
36°.
В данной задаче «клетки» - 10 углов; «кролики» -
3600.
6.
Подведение итогов урока.
Сегодня мы рассмотрели на
уроке задачи, решение которых достаточно стандартны и основываются на
применении свойств неравенств и методе доказательства «от противного». Дома вам
предлагается самим придумать задачу, решение которой предполагает применение
принципа Дирихле.
8. Постановка д\з.
Задачи для домашнего решения:
1. Если класс из 30 человек
рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не
менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек,
то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?
2. На Земле живет более 4 миллиардов
человек. Известно, что среди них не более 1% людей старше 100 лет. Докажите,
что найдутся два человека, которые родились в одну и ту же секунду.
3. Докажите, что из любых 12
натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 11.
4. У человека на голове не
более 400000 волос, в Москве более 8 млн. жителей. Докажите, что найдутся 20
москвичей с одинаковым числом волос.