Задачи на взвешивания

Задача 1: Из 9 монет одна – фальшивая, она тяжелее настояших. Найти ее за два взвешивания.

Задача 2: Из 27 монет одна – фальшивая, она легче настоящих. Можно ли нйти ее за a) 3 взвешивания b) 2 взвешивания.

Решение:

а) Да. Одним взвешиванием можно уменьшить количество «подозрительных монет втрое: нужно разделить монеты на три одинаковые группы и сравнить две из них. Если одна из групп легче, то фальшивая монета находится в ней, а если группы равны по весу, то фальшивая монета – в третьей группе. Таким образом, за три взвешивания группа «подозрительных» монет сужается до одной монеты, которая и является фальшивой.

б) Нет. Девять различных исходов двух взвешиваний не позволят однозначно определить все 27 возможных вариантов расположения фальшивой монеты.

Задача 3: Из 101 монеты 50 – фальшивые, которые на 1 грамм легче настоящих. За одно взвешивание на весах с делениями определить, является ли данная монета фальшивой.

Решение: Нужно разделить все монеты, кроме данной, на две группы по 50 штук и сравнить их. Если разность весов чётна, то данная монета – настоящая, иначе – фальшивая.

Задача 4: Есть 6 мешков с монетами. В некоторых из них монеты фальшивые (на 1 грамм легче настоящих). За одно взвешивание на весах с делениями определить, в каких мешках монеты фальшивые, если известно, что:

a) Фальшивые монеты только в одном мешке.

b) Фальшивые монеты не во всех мешках.

Решение: b) Положим на левую чашку весов одну монету из первого мешка, 2 – из второго, 4 – из третьего, 8 – из четвёртого и 16 – из пятого. На правую чашу положим 31 монету из шестого мешка. «Фальшивые» мешки определяются по двоичной записи разности весов на чашках.

Задача 5: Из 103 монет две – фальшивые (фальшивые монеты одинаковы по весу). За три взвешивания определить, тяжелее они настоящих или легче.

Задача 6: Есть 6 монет, из которых две – фальшивые (легче настоящих). Найти их за 3 взвешивания.

Задача 7: Из 16 монет одна – фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Найти ее за 4 взвешивания.

Задача 8:

Из 12 монет одна – фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Найти ее за 3 взвешивания.

Задача 9: Есть 5 монет, из которых две – фальшивые, причем одна тяжелее настоящих, а другая – легче. За 3 взвешивания найти обе фальшивые монеты.

Задача 10: В качестве вещественного доказательства суду были предъявлены 14 монет. Суд знает, что 7 из этих монет – настоящие, а 7 – фальшивые (легче настоящих). Адвокат обвиняемого знает, какие именно монеты фальшивые, и хочет убедить в этом суд. Как ему это сделать всего за три взвешивания на чашечных весах?