Подборка задач для проведения олимпиад в 7-8 классах

5. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на 4 равные части:

Решение: Способ показан на рисунке:

6. Два мудреца написали на семи карточках числа от 5 до 11. После этого они перемешали карточки, первый мудрец взял себе три карточки, второй взял две, а оставшиеся они, не глядя, убрали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: "Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках четна!" Какие числа написаны на карточках первого мудреца? Единственный ли ответ в этой задаче?

Решение:  6, 8, 10.

Первый мудрец может сделать такое утверждение только в том случае, когда среди не доставшихся ему четырех карточек любые две одной четности. Значит, все четыре карточки, ему не доставшиеся, одной четности. Среди чисел от 5 до 11 четыре нечетных и три четных. Значит, три четные карточки досталось первому мудрецу.

7. Имеет ли решение ребус: СВЕТА – ДИМА = САША? (Одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, разные — разными.)

Решение:  не имеет.

Несложно понять, что букву "С" можно заменить только на 1. Тогда, "Д" заменяется на 8 или 9, а "В" при этом на 0 или 1. Так как "С" равно 1, то "В" равно 0. Но "А" также может равняться только 0. Значит, ребус не имеет решения.

8. Найдите все двузначные числа, у которых четвертая степень суммы цифр равна сумме цифр четвертой степени самого числа.

Решение: 10 и 11.

9. Сколько вершин может иметь выпуклый многоугольник, если известно, что количество его сторон делится на количество его диагоналей?

Решение: 4 или 5.

10.  На витрине лежали N монет, легчайшая из которых весит 100 г, а каждая следующая – на 1 г тяжелее предыдущей. Какой-то шутник перепутал все этикетки под монетами, причём продавец все равно помнит, какая из монет сколько весит, но хозяин ему не верит. В распоряжении продавца имеются чашечные весы без гирь, которые показывают разность масс на чашках (в граммах). Как продавцу убедить хозяина в своей правоте, если а) N = 9 и хозяин согласен провести два взвешивания; б) N = 27 и хозяин согласен на три взвешивания?

Решение: а) Первым взвешиванием продавец кладет на одну чашу весов монеты 100, 101, 102, а на другую – монеты 106, 107 и 108. Разность весов будет равна 18, и эта разность может быть получена только для этого набора монет, что должно убедить хозяина в том, что взвешены именно эти монеты. Таким образом, после этого взвешивания имеются три кучки монет (100,101,102), (103,104,105) и (106,107,108). Вторым взвешиванием продавец сравнивает 100 + 103 + 106 и 102 + 105 + 108. Разность весов снова будет максимальной и единственно достижимой.

б) Решается аналогично. Первым взвешиванием на весы кладутся 18 монет.

11. Какое наименьшее значение может принимать сумма цифр числа, кратного 14?

Решение: 2, число 10010

12. Кот может съесть гирлянду сосисок за 37 минут, а пес – за 23 минуты. Они начали есть с двух концов, и когда съели всю, то посчитали, сколько процентов от всей гирлянды досталось каждому. Оказалось, что коту досталось на 10 больше, чем псу. Кто из них начал есть раньше и на сколько минут?

Решение: Кот начал есть гирлянду раньше на 10 минут. Очевидно, что пес съел 45 или 9/20 всей гирлянды, а кот съел 55 или 11/20 всей гирлянды. Если кот тратит 37 минут на поедание всей гирлянды, то 55 всей гирлянды он съест за минут. Аналогично, если пес тратит 23 минуты на всю гирлянду, то 45 всей гирлянды он съест за минут. Тогда кот потратил на минут больше. Следовательно, кот начал есть гирлянду раньше на 10 минут.

13. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2 минуты, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя, носить друг друга на руках нельзя).

Решение: Сначала мама с папой – 2 минуты, папа обратно – 1 минута, бабушка с малышом – 10 минут, мама обратно – 2 минуты и вместе с папой обратно – 2 минуты. Итого 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 минут.

14. Управдом Остап Бендер собрал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич заинтересовался, почему у них в третьем подъезде надо собрать денег на 20 больше, чем во втором, хотя квартир во всех подъездах поровну. Не растерявшись, Остап объснил, что за двузначные номера приходится платить вдвое, а за трёхзначные – втрое больше, чем за однозначные. Сколько квартир в подъезде?

15.  Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил ее на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора постоянны и не зависят от направления движения?

16.  Пешеход обошел шесть улиц родного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть?

17. На пишущей машинке сломалась цифра «3», и теперь машинистка стала нумеровать страницы следующим образом 1, 2, 4, 5, …, 29, 40, 41, 42, 44, …и так далее. Какой номер будет иметь страница, которая при нормальной нумерации имела бы номер 2000?

18. Есть 9 борцов разной силы. В поединке любых двух из них всегда побеждает сильнейший. Можно ли разбить их на три команды по три борца так, чтобы во встречах команд по системе «каждый с каждым» первая команда по числу побед одержала верх над второй, вторая – над третьей, а третья – над первой?

19. Какое наибольшее число слонов можно добавить к шести ладьям так, чтобы ни одна из шахматных фигур на доске не била другую?

Решение: 4

20. В классе 21 человек. Никакие две девочки не дружат с одинаковым количеством мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в классе?

Решение: Построим пример для 11 девочек. Первая девочка дружит с нулем мальчиков, вторая девочка дружит с одним мальчиком, третья – с двумя мальчиками и так далее. Тогда одиннадцатая девочка дружит с 10 мальчиками. Докажем, что больше 11 девочек быть не может. Если в классе больше 11 девочек, то там меньше 10 мальчиков. Тогда различных вариантов количества мальчиков, с которыми можно дружить, всего 0, 1, 2, n, где n - количество мальчиков в классе , n < 10. Тогда вариантов n + 1 < 11. А девочек больше 11. Противоречие.

21. Может ли шахматный конь (который ходит по правилам) обойти все поля доски 4 × 4, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на ту же клетку? Начинать разрешается на любом поле.

Решение: Так как нам надо вернуться на ту же клетку, то путь коня можно считать замкнутым. Назовем поля b2 и c3, узловыми для угловых полей a4 и d1. Заметим, что с любого из этих двух полей, и только с них, можно попасть на угловые поля a4 и d1. Так как путь замкнут, то на каждое поле необходимо попасть с какого-нибудь поля, а затем выйти на другое. Пусть первым на пути коня встречается поле a4. На него конь может попасть только с одного из узловых полей. Тогда выйти с этого поля он может только на другое узловое поле. Но в этом случае на следующем ходе он обязан встать на поле d4, так как если он на него не встанет, то больше он на узловые поля не попадет (на каждом поле он бывает только один раз), а только с узловых полей он может попасть на поле d4. Таким образом, он обязан встать на поле d4, но далее с этого поля он выйти уже не сможет, так как на обоих узловых полях он уже побывал, и на них он больше встать не может. Отсюда получаем, что требуемого маршрута не существует.

22. Разрежьте правильный шестиугольник на 8 равных частей.

23. Три девочки и три мальчика в течение года решали одни и те же задачи. Катя решила ¾ всех задач и еще ¼ от того, что решил Петя. Лена решила ½ всех задач и еще того, что решил Вася. Маша решила всех задач и еще от того, что решил Федя. Какая из девочек решила больше всех задач?

Решение: того, что решил Вася – это не больше, чем общего числа задач. Поэтому Лена решила не больше, чем всех задач. Аналогично, Маша решила не больше, чем всех задач. С другой стороны, Катя решила не меньше ¾ всех задач. Поскольку и , среди девочек больше всех задач решила Катя.

24. Три команды играли в КВН. Перед игрой игрок Иванов перешел из первой команды во вторую, игрок Сидоров перешел из второй команды в третью, а игрок Петров перешел из третьей команды в первую. После этого средний возраст первой команды увеличился на 1 неделю, второй – увеличился на 2 недели, а третьей – уменьшился на 4 недели. Известно, что в первой и во второй команде по 12 игроков. Сколько игроков в третьей команде?

Решение: Общий возраст первой команды увеличился на 12 недель, а второй – на 24 недели. Так как общий возраст всех команд при этом не изменился, то общий возраст третьей команды уменьшился на 36 недель, поэтому в ней 9 игроков.

25.  В квадрате 3 × 3 расставлены числа так, чтобы суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на каждой большой диагонали равны нулю. Известно, что сумма квадратов чисел в верхней строке равна 2000. Чему может быть равна сумма квадратов чисел в нижней строке?

Решение: Сложим все числа в таблице. Сумма равна нулю. Вычтем теперь большие диагонали, средний столбец и среднюю строку. Все числа, кроме среднего, мы вычли 1 раз, а среднее – 4 раза. Все это дело опять равно нулю, следовательно, в середине стоит ноль. Тогда на концах одной и той же большой диагонали, а так же на концах среднего столбца стоят противоположные числа. Следовательно, в третьей строке стоят числа, противоположные числам первой строки, а сумма квадратов та же.

26. На кошачьей выставке в ряд сидели 19 кошек и 10 котов, причем рядом с каждой кошкой сидел кот, который был толще, чем она. Докажите, что рядом с каждым котом сидела кошка, которая была тоньше, чем он.

Решение: Возьмем любого кота. Так как рядом с каждым котом сидит не больше двух кошек, оставшиеся 9 котов «обслуживают» не больше 18 кошек. Стало быть, найдется кошка, рядом с которой сидит только выбранный нами кот. По условию он должен быть толще этой кошки, то есть она тоньше, чем он, что и требовалось доказать.

27. При каком наибольшем n по кругу можно расставить n различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних?

Решение:

Ответ: При n = 6. Решение. Возьмем числа, расставленные по кругу с соблюдением условия. Пусть a и b – два соседних числа. Тогда после b идет число b/а, затем – число 1/а, дальше – 1/b, а за ним – a/b. Следующим, чтобы соблюдалось условие задачи, должно быть число a. Но оно уже было вначале. Значит, круг должен замкнуться. Таким образом, по кругу с соблюдением условия задачи можно выписать не больше шести чисел. Вот пример, когда их ровно шесть: 2, 3, 3/2, 1/2, 1/3, 2/3.

28. В клетках квадратной таблицы 10 × 10 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлено 10-значное число. Может ли оказаться, что из получившихся 20 чисел ровно одно не делится на 3?

Решение:

Ответ: Нет. Решение. Как известно, число делится на 3 тогда и только тогда, когда делится на 3 сумма его цифр. Поэтому достаточно выяснить, может ли оказаться, что из 20 сумм цифр по строкам и столбцам 19 сумм делятся на 3, а одна – нет. Допустим, может. Пусть «плохая» сумма получилась в одной из строк. Тогда, поскольку суммы цифр в остальных строках делятся на 3, сумма цифр во всей таблице не 3 не делится. С другой стороны, все суммы цифр по столбцам делятся на 3, а, значит, и сумма всех цифр в таблице – тоже. Противоречие.

29. Поля клетчатой доски размером 8 × 8 будем по очереди закрашивать в красный цвет так, чтобы после закрашивания каждой следующей клетки фигура, состоящая из закрашенных клеток, имела ось симметрии. Покажите, как можно, соблюдая это условие, закрасить 28 клеток. В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны быть закрашены, числа от 1 до 28 в том порядке, в котором проводилось закрашивание.

30. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр стороны AB в точке X, серединный перпендикуляр стороны AC – в точке Y, а описанную окружность треугольника – в точке Z. Точки A, X, Y, Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AX = YZ.

Решение:

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, а M и N –середины. сторон AC и AB соответственно. Ясно, что оба серединных перпендикуляра проходят через точку O. Заметим, что OA = OZ как радиусы, кроме того, треугольники AXN и AYM подобны по двум углам. Значит, углы AXN и AYM равны. Тогда равны и углы OXY и OYX, а значит, и OX = OY. Но тогда отрезки AX и ZY будут симметричны относительно серединного перпендикуляра к AZ, следовательно, они будут равны.

31. Квадратный материк разделен на 19 стран в форме выпуклых многоугольников, причем нет точек, в которых сходились бы границы четырех или больше стран. Из всяких же трех границ, сходящихся в одной точке, одна закрыта, а две открыты для проезда. Докажите, что невозможно объехать все эти страны, побывав в каждой по одному разу и вернуться в исходную страну.

Решение:

Назовем вершиной точку, где сходятся границы трех стран. По условию из каждой вершины выходит ровно одна закрытая граница. Допустим, объехать страны можно. Поскольку соответствующий замкнутый маршрут не пересекает закрытых границ, каждая из них либо целиком лежит внутри него, либо целиком снаружи. Поэтому все вершины, находящиеся внутри маршрута, разбиваются на пары вершин, связанных закрытыми границами, т.е. этих «внутренних» вершин – четное число k. Мысленно заменим участки границ, соединяющие вершины, нитями и разрежем каждую пополам. Тогда из «внутренних» вершин будет выходить 3k, т.е., четное число половинок нитей. Из них 19 половинок ведут наружу. Значит, от разрезания нитей, целиком лежащих внутри маршрута, получилось 3k – 19 половинок. Но это число – нечетное! Противоречие.

32. Решите ребус: АX × УХ = 2001.

Решение:

Ответ: АХ = 29, УХ = 69 или, наоборот, АХ = 69, УХ = 29. Поскольку 2001 = 3 • 23 • 29, число 2001 можно представить в виде произведения двузначных чисел лишь следующими способами: 69 • 29 или 23 • 87.

33. Офеня (продавец в разнос, коробейник) купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя Офеня получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?

Решение: =2

Ответ: оптовая цена ручки – 2 рубля 50 копеек. Если оптовая цена ручки – x рублей, то 5 – x = 10 – 3x, откуда x = 2,5.

34. Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что одного пакетика хватает на две или три чашки чая. Наташе коробки хватило на только 41 чашку чая, а Инне – только на 58 чашек. Сколько пакетиков было в коробке?

Решение: =3

Ответ: 20 пакетиков.

Первое решение. Поскольку Инна выпила на 17 чашек чая больше Наташи, значит, хотя бы из 17 пакетиков она приготовила по три чашки чая. Оставшиеся 7 = 58 – 17 • 3 чашек можно было получить только одним способом: 2 пакетика на 2 чашки каждый и 1 пакетик на 3 чашки. Значит, в коробке было 17 + 3 = 20 пакетиков. При этом Наташа из 19 пакетиков приготовила по 2 чашки, а из двадцатого – 3 чашки чая.

Второе решение. Заметим, что пакетиков не могло быть больше 20: если бы в пачке был хотя бы 21 пакетик, Наташа не смогла бы выпить меньше 2 • 21 = 42 чашек чая. Но пакетиков не могло быть и меньше 20, иначе Инна выпила бы не больше 3 • 19 = 57 чашек. Значит, в каждой пачке могло быть только 20 пакетиков. Инна использовала по 3 раза 18 пакетиков, а Наташа – только 1.

35. Расставьте по кругу 6 различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних.

Решение: =4

Если рядом стоят числа a и b, то следующим стоит число b/a, за ним 1/a, потом 1/b, наконец, a/b. Эти шесть чисел удовлетворяют условию задачи. Конечно, при неудачном выборе чисел a и b какие-то из указанных чисел совпадут, но нас это не остановит: для решения задачи достаточно предъявить один пример. Например, взять a = 2, b = 3.

36. Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль – 5, а Тофсла – 4 снежка. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются.)

Решение: =5

Ответ: в Хемуля, Вифслу и Тофслу попали по одному разу. Если в Вифслу, Тофслу и Хемуля попали x, y и z снежков соответственно, то всего было брошено 13 + x + y + z снежков (поскольку 13 снежков не достигли цели). С другой стороны, Вифсла бросил 6x, Хемуль – 5y, а Тофсла – 4z + 1 снежков (вместе с первым снежком). Получаем уравнение

6x + 5y + 4z + 1 = 13 + x + y + z, откуда 5x + 4y + 3z = 12. Так как x, y, z – целые неотрицательные числа, x может быть равен 0, 1 или 2, y – 0, 1, 2 или 3, z – 0, 1, 2, 3 или 4. Перебором находим решения (1,1,1), (0,3,0) и (0,0,4). Но, поскольку в самого себя кидать снежки нельзя, то среди чисел x, y, z не может быть двух нулей. Поэтому возможен только первый случай.

37. Поля клетчатой доски размером 8 × 8 будем по очереди закрашивать в красный цвет так, чтобы после закрашивания каждой следующей клетки фигура, состоящая из закрашенных клеток, имела ось симметрии. Покажите, как можно закрасить а) 26; б) 28 клеток, соблюдая это условие. (В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны быть закрашены, числа от 1 до 26 или до 28 в том порядке, в котором проводилось закрашивание.)

Решение: =6

Ответ приведён на рисунке.

38. В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно 23021³⁷⁷ – 1. Не опечатка ли это?

Решение: =1

Ответ: конечно, это опечатка. Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность 23021³⁷⁷ – 1 оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.

На самом деле наибольшим известным сегодня простым числом является число 2^3021377 – 1. Простые числа вида 2ⁿ – 1 называют числами Мерсенна (по имени математика 17 века М. Мерсенна, который их исследовал). Можно доказать, что при составном n число 2ⁿ – 1 составное. Поэтому числа Мерсенна соответствуют простым n. Например, 2² – 1 = 3, 2⁵ – 1 = 31, 2⁷ – 1 = 127 – простые числа. Однако нельзя утверждать, что каждому простому числу p соответствует простое число 2^p – 1. Например, 2¹¹ – 1 – составное число. Поиском чисел Мерсенна занимались многие выдающиеся математики, например, Эйлер доказал, что число 2³¹ – 1 простое. Конечно или бесконечно множество чисел Мерсенна – вопрос, на который пока нет ответа.

39. Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. После каждого удачного выстрела количество его денег увеличивается на 10, а после каждого промаха уменьшается на 10. Могло ли после нескольких выстрелов у него оказаться 80 рублей 19 копеек?

Решение: =2

Ответ: да, могло, если он один раз попал и три раза промахнулся. Решение проще всего найти, если разложить 8019 на множители: 8019 = 93 • 11. После удачного выстрела количество денег умножается на 1,1, а после неудачного – на 0,9, и 100 • 1,1 • 0,93 = 80,19.

40. Для постройки типового дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать еще 2 подъезда и добавить еще 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей, а на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.)

Решение: =3

Ответ: да, могло. Например, если в исходном проекте было 5 подъездов, 4 этажа и на каждом этаже по одной квартире: 5 • 4 = 20, 3 • 7 = 21, 1 • 10 = 10.

41. В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей формы (см. рисунок). Покажите на рисунке все точки, в которые можно вбить гвоздь, так чтобы флажок закрывал дырку.

Решение: =4

Ответ приведён на рисунке.

42. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по клеткам, начав с левой верхней и идя по спирали (дойдя до края или уже закрашенной части, поворачивают направо, рис. 2). Какая клетка будет закрашена последней? (Укажите номер её строки и столбца. Например, нижняя правая клетка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.)

Решение: =1

Ответ: клетка, расположенная в строке 51 и столбце 50. Сначала будет закрашен наружный слой клеток, после чего останется прямоугольник 98 × 198 клеток. Этот прямоугольник также будет закрашиваться по спирали; после покраски его наружного слоя останется прямоугольник 96 × 196 клеток и так далее. После окраски 49 слоёв незакрашенным останется прямоугольник 2 × 102, расположенный в строках 50–51 и столбцах 50–151. Последней будет закрашена нижняя левая клетка этого прямоугольника.

43. Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

Решение: =2

Ответ: да. Можно, например, ставить точки на окружности через равные достаточно малые интервалы (как на рисунке, только меньшие).

44. Даны шесть слов:

ЗАНОЗА

ЗИПУНЫ

КАЗИНО

КЕФАЛЬ

ОТМЕЛЬ

ШЕЛЕСТ

За один шаг можно заменить любую букву в любом из этих слов на любую другую (например, за один шаг можно получить из слова ЗАНОЗА слово ЗКНОЗА. Сколько шагов нужно, чтобы сделать все слова одинаковыми (допускаются бессмысленные)? Приведите пример и докажите, что меньшим числом шагов обойтись нельзя.

Решение: =3

Ответ: 25. Напишем слова в столбик:

ЗАНОЗА

ЗИПУНЫ

КАЗИНО

КЕФАЛЬ

ОТМЕЛЬ

ШЕЛЕСТ

После всех замен буквы в каждой колонке должны стать одинаковыми. Число замен будет наименьшим, если в каждой колонке сохранить наиболее частую букву (любую из них, если таких букв несколько). Например, в первой колонке можно оставить буквы З или К, они обе требуют четырёх замен. Минимальное число замен равно 4 + 4 + 5 + 4 + 4 + 4 = 25. Среди слов, которые могут получиться в результате, есть осмысленные, например ЗЕЛЕНЬ, КАПЕЛЬ или КАФЕЛЬ.

45. В треугольнике ABC проведены биссектриса AK, медиана BL и высота CM. Треугольник KLM равносторонний. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Решение: =4

Напомним, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине и, наоборот, если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Медиана ML прямоугольного треугольника AMC равна половинам гипотенузы AL и LC, а также отрезкам KL и KM, так как стороны треугольника KLM равны (см. рис.). В треугольнике AKC медиана KL равна половине стороны AC, поэтому угол AKC прямой и в треугольнике ABC биссектриса AK является высотой. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный (AB = BC) и AK является также медианой: BK = KC. Значит, MK – медиана прямоугольного треугольника BMC, поэтому BC = 2MK = 2KL = AC. Итак, AB = BC = AC, что и требовалось доказать.

46. Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Считается, что он отгадал, если одну цифру он назвал правильно, а в другой ошибся не более чем на единицу (например, если задумано число 65, то 65, 64 и 75 подходят, а 63, 76 и 56 – нет). Придумайте способ, гарантирующий Грише успех за 22 попытки (какое бы число ни задумал Лёша).

Решение:

Расположим двузначные числа в клетках прямоугольника высоты 9 и ширины 10 (по горизонтали откладываем единицы, по вертикали – десятки).

Каждой попытке Гриши соответствует крестик из пяти клеток: в центре названное им число, а по бокам четыре числа, отличающиеся в одной цифре на единицу (если названное число содержит цифру 0 или 9, некоторые клетки крестика выходят за края прямоугольника; таким клеткам никакие числа не соответствуют). Задача Гриши – покрыть прямоугольник 9 × 10 такими крестиками. Убедимся, что 22 крестиков ему хватит.

Покрытие из 22 крестиков легко найти, если заметить, что крестиками можно выложить плоскость без перекрытий (правда, придётся ещё добавить несколько крестиков по краям прямоугольника). Например, Гриша может назвать числа 11, 13, 17, 25, 29, 30, 32, 37, 44, 49, 51, 56, 63, 68, 70, 75, 82, 87, 89, 90, 94, 97.

47. Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Считается, что он отгадал, если одну цифру он назвал правильно, а в другой ошибся не более чем на единицу (например, если задумано число 65, то 65, 64 и 75 подходят, а 63, 76 и 56 – нет). Покажите, что нет способа, гарантирующего Грише успех за 18 попыток.

Решение:

Расположим двузначные числа в клетках прямоугольника высоты 9 и ширины 10 (по горизонтали откладываем единицы, по вертикали – десятки).

Каждой попытке Гриши соответствует крестик из пяти клеток: в центре названное им число, а по бокам четыре числа, отличающиеся в одной цифре на единицу (если названное число содержит цифру 0 или 9, некоторые клетки крестика выходят за края прямоугольника; таким клеткам никакие числа не соответствуют). Задача Гриши – покрыть прямоугольник 9*10 такими крестиками. Убедимся, что 18 крестиков ему не хватит.

Суммарная площадь крестиков равна 18 × 5 = 90, т.е. равна площади прямоугольника. Но, покрывая угловую клетку, мы неизбежно выйдем за пределы прямоугольника, и эта потеря помешает покрыть весь прямоугольник.