Задачи с целыми числами

Задача 1:

Если каждый мальчик купит пирожок, а каждая девочка – булочку, то они потратят вместе на одну копейку меньше, чем если бы каждый мальчик купил булочку, а каждая девочка – пирожок. Известно, что мальчиков больше, чем девочек. На сколько?

Задача 2:

175 Шалтаев стоят дороже, чем 125, но дешевле, чем 126 Болтаев. Докажите, что на трех Шалтаев и одного Болтая рубля не хватит.

Задача 3:

В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с двумя мальчиками. При этом в классе всего 19 парт и 31 пионер. Сколько в классе учеников?

Задача 4:

Две команды разыграли первенство школы в десяти видах, причем за победу команда получала 4 очка, за ничью – 2 и за проигрыш – 1 очко. Вместе обе команды набрали 46 очков. Сколько было ничьих?

Задача 5:

Четверо товарищей купили вместе лодку. Первый внес половину суммы, внесенной остальными; второй – треть суммы, внесенной остальными; третий – четверть суммы, внесенной остальными, а четвертый внес 130 рублей. Сколько стоит лодка и сколько внес каждый?

Задача 6:

На дороге, соединяющей два аула, нет горизонтальных участков. Автобус идет в гору всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору – 30 км/ч. Найдите расстояние между аулами, если известно, что путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа.

Задача 7:

Существуют ли такие натуральные a и b, что ab(a – b) = 45045?

Задача 8:

Обозначим сумму трех последовательных натуральных чисел через a, а сумму трех следующих за ними натуральных чисел – через b. Может ли произведение ab равняться 111111111?

Задача 9:

Докажите, что последняя ненулевая цифра числа 1985! четна.

Задача 10:

Натуральные числа x и y таковы, что 34x = 43y. Докажите, что число x + y – составное.

Задача 11:

Существуют ли такие целые числа a и b, отличные от нуля, что одно из них делится на их сумму, а другое – на их разность?

Задача 12:

Простые числа p и q и натуральное число n удовлетворяют соотношению

Найдите эти числа.

Задача 13:

Докажите, что натуральное число, десятичная запись которого состоит из одной единицы, двух двоек, трех троек, …, девяти девяток, не может быть точным квадратом.

Задача 14:

Каждое из натуральных чисел a, b, c и d делится на ab – cd. Докажите, что ab – cd равно 1 или  – 1.

Задача 15:

В стране Анчурии в обращении имеются купюры четырех достоинств: 1 доллар, 10 долларов, 100 долларов, 1000 долларов. Можно ли отсчитать миллион долларов так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр?

Задача 16:

На доске написано число 1. Каждую секунду к числу на доске прибавляют сумму его цифр. Может ли через некоторое время на доске появиться число 123456?

Задача 17:

Докажите, что число 3999991 не является простым.

Задача 18:

а) Найдите семизначное число, все цифры которого различны и которое делится на все эти цифры.

б) Существует ли такое восьмизначное число?

Задача 19:

У числа 19¹ºº вычисляют сумму цифр, после этого у полученного числа подсчитывают сумму цифр и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Какое оно?

Задача 20:

Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Задача 21:

Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 1980?

Задача 22:

Некоторое число оканчивается на 2. Если эту цифру перенести в начало числа, то число удвоится. Найдите наименьшее такое число.

Задача 23:

Что больше: 2³ºº или 3²ºº?

Задача 24:

Что больше: 31¹¹ или 17¹⁴?

Задача 25:

Что больше: 50⁹⁹ или 99! ?

Задача 26:

Что больше: 888 … 88 × 333 … 33 или 444 … 44 × 666 … 67 (каждое из чисел записано 1989 цифрами)?

Задача 27:

Каких 6-значных чисел больше: тех, которые представляются в виде произведения двух трехзначных чисел, или остальных?