Уравнения в целых числах
Задача 1: Найти все такие p, что p и 5p + 1 – простые.
Задача 2: Найти все такие p, что p,p + 10 и p + 14 –
простые.
Решение: По модулю 3
Задача 3: Найти все такие p, что p и p² + 2 –
простые.
Решение: По модулю 3
Задача 4: Является ли число 12345678926 квадратом?
Задача 5: Доказать, что следующие числа не являются
квадратами: a) 12345678 b)
987654 c) 1234560 d)
98765445.
Задача 6: Доказать, что
1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + … + 98 • 99 • 100 ≠ 19891988.
Задача 7: Найти все p, такие что p, p² + 4, p² + 6 – простые числа.
Решение: По модулю 5
Задача 8: Доказать, что n4 + 2n² + 3
не может быть простым.
Решение: Оно делится на 3.
Задача 9: Доказать, что число
2 + 4 + 6 + … + 2n не может
быть
a) квадратом
b) кубом целого числа.
Задача 10: Решить в целых числах:
2x + 5y = xy – 1.
Задача 11: Найти все p, такие что p и p6 + 6 – простые.
Решение: По модулю 7
Задача 12: Найти все p, такие что p и 3p² + 1 – простые
Задача 13: Найти все p, такие что p и 2p² + 1 – простые.
Задача 14: Доказать, что произведение 6 последовательных
натуральных чисел не может быть равно 776965920.
Задача 15: Доказать, что уравнение x² + 1990 = y² не имеет решений в целых числах.
Задача 16: Доказать, что уравнение 4k – 4l = 10n
не имеет решений в целых числах.
Решение: По модулю 3
Задача 17: Доказать, что существует бесконечно много
натуральных чисел, не представимых в виде a) x² + y² b) x² + y² + z² c) x³ + y³ + z³.
Решение: b)
Все числа вида 8k + 7.
c) Все числа вида 9k + 4.
Задача 18: Доказать, что число
53 • 83 • 109 + 40 • 66 • 96 –
составное.
Задача 19: Решить в целых числах: x² + y² + z² = 4(xy + yz + zx).
Решение:
Метож бесконечного спуска: все переменные должны быть
чётными и их можно разделить пополам. Ответ: (0;0;0)
Задача 20: Решить в целых числах: x² + y² + z² = 2xyz.
Решение: Метод бесконечного спуска.
Задача 21: Решить в целых числах: 
, b и c – простые.
Задача 22: Найти все прямоугольники с натуральными сторонами,
у которых периметр равен площади.
Задача 23: Есть 100 купюр 
типов:
по a и b рублей. (a не равно b). Доказать, что
можно выбрать несколько купюр так, что полученная сумма делится на 101 рубль
без остатка.
Задача 24: a)
Решить в целых числах: 
.
b) 
.
Доказать, что 
.
Задача 25: Доказать, что существует бесконечно много
натуральных чисел, не представимых в виде n² + p (p – простое).
Решение:
Таковы почти все точные квадраты.
Задача 26: Доказать, что 32n – 1
a) делится на 2n + 2.
b) не делится на 2n + 3.
Задача 27: Найти все натуральные n,
для которых 2n + 33 – точный квадрат.
Задача 28: Решить в целых числах: a² + b² = 3(c² + d²).
Решение: Бесконечный спуск.
Задача 29: Найти наименьшее значение выражения 
(k, l – натуральные числа).
Решение:
Ответ: 11 = 16 – 25. По модулям 3, 4 и 5.
