Тема 1. Понятие уравнения  с параметром.

 

      С понятием параметра  встречались при изучении линейных и квадратных уравнений, при рассмотрении линейной и дробно-линейной функций, хотя сам термин «параметр» не вводился. Так, в квадратном уравнении его коэффициенты  являются параметрами, в уравнении , которым задается линейная функция, параметрами являются  и .

 

      В качестве примера рассмотрим уравнение  в котором - неизвестное число, - известное фиксированное число. Это уравнение является линейным уравнением с параметром .

      Придавая  различные значения, мы будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами. Например, при =2 получаем уравнение , при =-0,5 – уравнение , при =1 – уравнение , при =0 – уравнение

      При различных значениях  мы будем получать различные уравнения из данного семейства уравнений, определяемых параметром . В зависимости от параметра могут представиться разные случаи: уравнение может иметь единственный корень, может иметь бесконечное множество корней, может вообще не иметь корней.

      Итак, решая уравнение  необходимо рассмотреть случаи:

1) ;

2) =0 и ;

3) =0 и =0.

      В результате получим возможные решения: при 0 и 1  уравнение имеет единственный корень ; при=0 уравнение корней не имеет; при =1 уравнение имеет бесконечное множество корней, любое число является его корнем.

      Таким образом, для уравнения мы выявили различные значения параметра , для каждого из которых определено соответствующее множество корней.

 

      Решить уравнение с параметром  - это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра  указывается множество корней соответствующего уравнения.

 

Задачи для решения:

1. Дано уравнение  с параметром .

      Напишите уравнение которое получится при: а); б) ; в) .

2. Каким – линейным или квадратным – является уравнение  относительно  при

      а) ; б); в)

3. Определите степень уравнения  относительно и.
4. Выясните вид уравнения  относительно  при: а) б) в) г)

      Решите уравнение для каждого случая.

5. Дано уравнение  Найдите множество корней этого уравнения в случае, если:

      а) б) .

6. Какие случаи следует выделить при решении уравнения:

       а)  б) ?

7. При каких значениях параметра  уравнения  и  имеют общие корни?
8. При каких значениях параметра  уравнение  не имеет корней?
9. При каких значениях параметра  уравнения  и  не имеют корней?
10. При каких значениях параметра  уравнение  

      а) имеет единственный корень;

      б) имеет бесконечное множество корней;

      в) не имеет корней?

11. Зная, что , выясните, имеет ли уравнение целые корни и если имеет, то при каких  :

      а)

      б) ;    в)

12. При каких значениях параметра  уравнение  является:

      а) квадратным;

      б) неполным квадратным;

      в) линейным?

13. При каких значениях параметра  уравнение :

      а) имеет корни;

      б) не имеет корни?