Тема 1. Понятие уравнения
с параметром.
С понятием параметра встречались при изучении линейных и квадратных уравнений, при рассмотрении линейной и дробно-линейной функций, хотя сам термин «параметр» не вводился. Так, в квадратном уравнении его коэффициенты являются параметрами, в уравнении , которым задается линейная функция, параметрами являются и .
В
качестве примера рассмотрим уравнение в котором - неизвестное число, - известное фиксированное число. Это уравнение является линейным уравнением с параметром .
Придавая различные значения, мы будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами. Например, при =2 получаем уравнение , при =-0,5 – уравнение , при =1 – уравнение , при =0 – уравнение
При различных значениях мы будем получать различные уравнения из данного семейства уравнений, определяемых параметром . В зависимости от параметра могут представиться разные случаи: уравнение может иметь единственный корень, может иметь бесконечное множество корней, может вообще не иметь корней.
Итак, решая уравнение необходимо рассмотреть случаи:
1) ;
2) =0 и ;
3) =0 и =0.
В результате получим возможные решения: при 0 и 1 уравнение имеет единственный корень ; при=0 уравнение корней не имеет; при =1 уравнение имеет бесконечное множество корней, любое число является его корнем.
Таким образом, для уравнения мы выявили различные значения параметра , для каждого из которых определено соответствующее множество корней.
Решить
уравнение с параметром - это значит
установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество
корней соответствующего уравнения.
Задачи для решения:
Напишите уравнение которое получится при: а); б) ; в) .
а) ; б); в)
Решите уравнение для каждого случая.
а) б) .
а) б) ?
а) имеет единственный корень;
б) имеет бесконечное множество корней;
в) не имеет корней?
11. Зная, что , выясните, имеет ли уравнение целые корни и если имеет, то при каких :
а)
б) ; в)
12. При каких значениях параметра уравнение является:
а) квадратным;
б) неполным квадратным;
в) линейным?
13. При каких значениях параметра уравнение :
а) имеет корни;
б) не имеет корни?